trinadilla: Pertidaksamaan

A. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi. Seperti halnya persamaan, menyelesaikan pertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi yang benar. Bilangan yang diperoleh nantinya merupakan nilai penyelesaiian untuk suatu pertidaksamaan yang dicari. Himpunan semua nilai pertidaksamaan merupakan himpunan penyelesaian (himpunan terselesaikan).

Pertidaksamaan linear merupakan sebuah bentuk kalimat terbuka yang dinyatakan dengan lambang-lambang yang menunjukkan pertidaksamaan seperti:

>	Lebih dari
<	Kurang dari
≥	Lebih dari atau sama dengan
≤	Kurang dari atau sama dengan
≠	Tidak sama dengan

Contoh dari pertidaksamaan linear satu variabel adalah:

6x + 12 ≥ 4x – 10; 10q – 2 < 0

Dalam pertidaksamaan tersebut, x dan q disebut dengan variabel.

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut pertidaksamaan kuadrat.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

dengan a, b, c dan x ϵ R, dan a ≠ 0

Sebelum kita bahas tentang metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita akan ulas kembali tentang interval/selang serta grafik fungsi kuadrat yang akan membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya.

1) Interval/Selang

Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis(segmen garis) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.

1) Grafik Fungsi Kuadrat

Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y=ax²+bx+c dengan a, b, c ϵ R dan a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat ini memiliki sifat :

Ø Jika a > 0 grafik fungsi terbuka ke atas, dan sebaliknya jika a < 0 grafik fungsi terbuka ke bawah.

Ø Memotong sumbu y jika x = 0 dan memotong sumbu x jika y = 0.

Ø Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai.

Diskriminan (D = b² - 4ac) berlaku ketentuan :

· D > 0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik.

· D = 0 maka parabola menyinggung sumbu x.

· D < 0 maka parabola tidak memotong sumbu x.

Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan a > 0 dan D < 0 maka termasuk definit positif dan jika a<0 dan D<0 disebut definit negatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel dibawah ini.

C. Cara Penyelesaian Pertidaksamaan

1. Pertidaksamaan Linear Satu Peubah

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan satu linear peubah adalah:

1) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.

2) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan tetap.

3) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama dan tidak nol, maka tanda pertidaksamaan menjadi sebaliknya.

Contoh soal:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan di bawah ini !

a. 3x – 1 > 5 b. 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

Jawab : Jawab :

3x – 1 >5 3x + 4 ≤ 5 ( x - 1 )

3x > 5 + 1 3x + 4 ≤ 5 x - 5

3x >6 3x – 5x ≤ -5 – 4

x> 6/3 -2x ≤ -9

x >2 x ≥ 9/2

HP = { x │x > 2, x Є R } HP = { x │x ≥ 9/2, x Є R }

2. Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua peubah, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Gambarlah ax + by = c.

b. Ambil sembarang titik P(x₁, y₁) yang terletak di luar garis ax + by = c.

c. Subtitusikan titik-titik tersebut ke dalam pertidaksamaan.

d. Apabila pertidaksamaan benar, maka daerah yang memuat titik P(x₁, y₁) adalah himpunaan penyelesaiannya. Jika pernyataan salah, maka daerah lain yang tidak memuat titik P(x₁, y₁) adalah himpunan penyelesaiannya.

Contoh soal:

a. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dari 2x + 3y ≤ 12 !

Jawab:

2x + 3y = 12

Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dengan cara membuat tabel berikut:

x	0	6
y	4	0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (6,0) dan (0,4).

Ambil titik P(0,0) sebagai titik uji pada 2x + 3y ≤ 12 dan diperoleh 2.0 + 3.0 ≤ 12 ↔ 0 ≤ 12 (benar). Daerah yang memiliki titik P(0,0) merupakan daerah penyelesaian.

b. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan dari 4x + 5y ≥ 20 !

Jawab:

4x + y = 20

Untuk mencari titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y dengan cara membuat tabel berikut:

x	0	5
y	4	0

Dengan demikian titik potong dengan sumbu x dan y adalah (6,0) dan (0,4).

Ambil titik P(0,0) sebagai titik uji pada 4x + 5y ≥ 20 dan diperoleh 4.0 + 5.0 ≥ 20 ↔ 0 ≥ 20 (salah). Daerah yang memiliki titik P(0,0) merupakan daerah penyelesaian

3. Pertidaksamaan Kuadrat

Untuk dapat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan. Dalam penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan terdapat beberapa langkah yang harus kita pahami. Berikut adalah langkah-langkahnya:

a. Ubah pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk persamaan kuadrat.

b. Tentukan akar-akar dari persamaan tersebut.

c. Tentukan letak akar-akar persamaan pada garis bilangan.

d. Tentukan daerah positif dan negative.

e. Tulis himpunan penyelesaian yang sesuai.

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x² – 2x – 3 ≤ 0 !

Jawab :

x²- 2x - 3 ≤ 0

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3) (x + 1 ) = 0

x = 3 | x = -1